Alejandro Gálvez llega en calidad de cedido de la SD Éibar y avalado por Paco Jémez. De hecho el crecimiento de Gálvez, su explosión como jugador y su salida a la Bundesliga, concretamente al Werder Bremen, se la debe en parte al actual técnico amarillo, quien le dio confianza y minutos en el Rayo Vallecano durante dos temporadas.
Se inició en el fútbol base de su tierra, Granada, desde donde pasó a las categorías inferiores del Albacete Balompié cuando estaba en categoría cadete. Allí se proclamó campeón la Copa del Rey Juvenil en 2007 y en la temporada siguiente se incorporó al equipo de División de Honor Juvenil del Villarreal CF.
Debutó en Primera División, siendo jugador del Sporting de Gijón, el día 15 de enero de 2012, ante el Málaga CF, en el estadio El Molinón, en el que contribuyó a la victoria sportinguista por 2-1 al anotar el primero de los goles.
En su primera temporada en el Éibar disputó 19 partidos. Este año solamente ha jugado 4 partidos, anotando un gol, el que le valió la victoria al cuadro armero sobre el CD Leganés (1-0).
